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教学反思:由一堂函数最值纠错课引发的思考

发表时间:2013/5/15 20:00:47

由一堂函数最值纠错课引发的思考
教学反思:由一堂函数最值纠错课引发的思考

我校是上海郊区的一所普通农村中学。生源的入校基础如同职校的学生。长期以来区统考的排名基本是垫底的,且与其他学校的差距很大。如此的教学环境,能否上好基础课、打个翻身仗,一直是我实践与思考的课题。其中,“数学纠错课”的实践是较为成功的一条途径。
我们都曾发出过这样的感叹:虽然我们费力地在课堂上指出错在哪里,错的原因是什么,应该怎样纠错,但往往收效甚微。究其原因,那是因为教师并没有让学生积极地参与其中,没有充分发挥学生的主体作用,没能激发起他们的学习兴趣。那么,什么是纠错?纠错是指针对学生的学习薄弱环节,有针对性地通过典型习题,对学生经常出现的典型错误进行剖析。它是数学教学的一个不可缺失的重要环节。
教育家杜威认为:“失败是有指导性的,真正懂得思考的人,从失败和成功中学的一样多。” 建构主义学习理论认为:学生的数学教学活动不应只限于接受、记忆、模仿、练习等被动的吸收过程,而主要应是学生依据已有的知识和经验进行主动的意义建构。质疑是创新的前奏,单纯的记忆和模仿,不能培养创新型人才。如果教师总是略去艰苦探索的过程,把思维过程中完美的那一段呈现给学生,教师讲得越多越细,学生的思考就越少,对教师的依赖性就越大。而一堂成功的纠错课是能够激发学生的探究愿望
……(新文秘网https://www.wm114.cn省略901字,正式会员可完整阅读)…… 
。本例是分式型函数,该如何处理呢?说说你的解题思路。
(生三三两两讨论,师巡视,发现学生的解题思路主要有如下几种)
生:先判别函数的单调性,再利用单调性求最值.
生:拆项法,拆成两项 的和,再利用基本不等式求最值.
生:也可换元法,令 ,以便利用基本不等式,进一步处理。
师:哇,一下子提出了这么多的方法,打开了大家的思路,很好!那么这些思路是否有效呢?
(经学生们热议,很快否定了第一种思路。因为这个函数不是单调函数。但利用第二种、第三种思路解题还是有一些如下差错。进一步在师生互动中予以纠正。)

生解:
.
生:肯定错了,最小值应该是个最值,而上述结果是个变量,失败的关键是拆成的两个正项的积不是定值。
生:我想可以如下拆项求解:

.
师:是吗?最小值会是2吗?
生:(老师的反问促使学生进一步思考)有问题,因为确定最小值为2的前提是 但是这个方程无解,所以我认为本例无最小值。其实这个解法和我的代换法求解的实质和步骤是一样的。
师:先说说你是如何用代换法求解的?
生:设 ,则 ,则 ,这里等号成立的前提是 但这个方程在无解 ,所以本例无最小值。
师:这只能说明,利用基本不等式求本例最值是失败的,但不等于本例无最小值,请大家再回到第一种思路,结合函数单调性,再试试看。
生:(很快地,跟着上个学生的解题思路) 是递增函数。 .
师:经过大家的共同努力,终于找到了一个完备的答案,在用基本不等式求最值时,必须注意“一正二定三相等”的法则,必须关注等号成立的前提,如果不能成立,可结合“耐克”函数的单调性处理。
题4:[放幻灯片] 若 ,且 ,求 的最小值.
(让学生各自动手做,师巡视,然后选择较为代表性的二个错解,利用幻灯投影让学生们讨论纠错.)
生解一:由题意, ,即
.

生解二:由题意,
故: .
师:这里的二个解答答案不同,至少一个有错,能否大家一起来找找原因呢?
生:解一的错是显然的。 说明 与 的和一定大于5,怎能由此推断最小值是5呢?!这只能表明,如果有最小值,那么最小值必定大于5.
生:解二没问题,二次利用了基本不等式后得到 ,所以, 应该没问题。(得到了多数同学的附和)
师:利用基本不等式求最值,应该遵循一个什么法则?
生:“一正二定三相等。”
生:我知道了,从 得到 ,还得补上理由,当正数 、 满足条件 且 ,即 时,等号能成立,这样就没有问题了。
生:这也不正确,因为本题求解共两次用了基本不等式,第一次利用基本不等式得 也有“一正二定三相等”的要求,即当且仅当 ,即 时等号才成立。所以二次应用基本不等式得到 ,前提应该是两个等号成立的 、 值应该是相同的,而现在事实上不相等,所以答案 肯定是错误的。
师:那么正确的结果是什么呢?一起再讨论讨论。重点看看条件 中有什么特殊的功能?
生:(三三两两商讨着,终于有了希望)可以如下求解:
由题意得,
当且仅当 ,即 .
注意到 ,可得 时等号能成立, .
师:完全正确……。
同学们,通过对这些题纠错,我想你们一定有不少感想,大家一起说一说。
(最后师生一起归纳小结):
(1)解题时一定要认真审题,仔细思考。
(2)求函数最值常用的方法:
①对于二次函数,利用配方法求得抛物线的顶点的坐标,此时,顶点的横坐标、纵坐标,即分别是取得函数最值时 的值及 的值。必须注意,二次函数中的二次项的系数 的符号。对于二次函数在指定区间上求最值,除了考虑上述外,还需要考虑顶点的横坐标是否在指定区间内,并根据不同情形求出相应的最值。
②对于分式型函数,我们可尝试构造基本不等式,并利用基本不等式来求得最值。但必须重视,利用基本不等式求函数最值时,一定要遵循“一正二定三相等”的法则,尤其要注重等号成立的条件。
③对于一般的单调函数及其复合函数,我们可以综合考虑它们的单调性,从而求得函数最值。 但需注意,指数函数、对数函数的单调性与底数 的值有关,当 时,是减函数。
(3)产生的错误的原因可归为下列几种:① 概念理解不准确;② 忽略公式定理条件的限制;③忽视存在的特例;④考虑情况不周全;⑤ 思维定势的影响;⑥ 概念混淆不清;⑦ 运算能力薄弱。
短短的45分钟就在我和学生们互相补充中结束了……

课后反思:
整堂课基本上已做到学生是学习的主体,师生平等,教学相长,促进了师生间多向交流,共同营造了宽松、愉快的民主气氛,使学生释放出巨大的创新潜能,达到了预期教学目的。作为设计者、 ……(未完,全文共7204字,当前仅显示2529字,请阅读下面提示信息。收藏《教学反思:由一堂函数最值纠错课引发的思考》