毕业论文：偏度、峰度检验—产品质量检验

偏度、峰度检验
—产品质量检验
院系：数学科学学院
专业:数学与应用数学
届别：2011届本科

目录
摘要 1
Abstract 2
引言 3
一、常用定理 4
1.1 特征函数 4
1.2 一些常用分布的特征函数 5
1.3 中心极限定理 6
1.4 三种常见的统计量 7
1.5 正态总体的抽样分布 9
二、假设检验 13
2.1 无偏估计 13
2.2 显著性检验 和 关于 检验 14
三、偏度、峰度检验 17
3.1偏度、峰度检验 17
3.2 偏度、峰度检验的应用 19
结论分析 21
参考文献 22
致 谢 22

摘要
所有生产制造公司类的公司都会考虑产品质量问题，要从一大批量的产品中随机抽取一定数量的产品，通过检查，测定一组所要检测的数据。为了降低数据分析过程中带来的麻烦，通常情况要考虑样本总体是否服正态分布。因此，首先假设样本是服从正态分布，在选取适当的统计量，确定显著性水平 ，当偏度 与 的偏离不应太大，峰度 与 的偏离不应太大的情况下，为了使犯第一类错误情况降低。因此，要让拒绝域满足 时，我们就称该样本是服从正态总体分布的。这种检验方法称为偏度、峰度检验。灯泡的通光量是检测一个灯泡是否合格的标准，随机抽取了
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方法，但是用它来检验总体的正态分布时，犯第二类错误的概率比较大。通过大量的模拟计算的结果，认为正态性检验中，以偏度、峰度检验是较为有效地检验。目前许多企业依旧延续着经验主义和简单的检验方法。通过检验抽取检验产品，当产品的合格率达到规定的值时，就认为这一批产品是合格的。当一批产品原本是合格的，但是刚好抽取到了次品太多，造成检验不合格，工作人员会要求相关人员返工或者直接报废，造成大量的成本浪费。或者当一批产品是不合格品很多，刚好抽取到得产品全是合格品或者达到了合格品的要求，公司就会直接将产品出售，等到供货商开始处理这批产品发现大量的不合格品，那么这种情况损失会更大，不但要求供应商赔款，还会造成对供应商的整体评价的下降。因此这些小概率事件发生的肯能行有多高呢？因此工作人员经过统计，收集数据，模拟计算，对数据进行处理。对于连续随机试验的到的数据都是符合正态分布的，为了降低小概率事件的发生，我们将如果总体是合格品，但是通过抽样检验，这批产品次品率太高，造成不合格的情况视为犯第一类错误，显著性水平为 。通过偏度、峰度检验法来检验样本是否服从总体正态分布，来对数据处理，从而降低对数据处理和分析的难度。

一、常用定理
统计量是对总体的分布函数或数字特征进行估计与推断的基本概念，统计量的分布也称为抽样分布。设 是来自总体*的一个样本， 是 的函数，若g中不含未知参数，则 是一个统计量。

1.1 特征函数
设 是随机变量*的分布函数，对 则有*的特征函数：
1）
2）

都存在 成立
故对于任何随机变量都有特征函数。
3）当Y=a*+b（a，b为任意常数）的特征函数为：
。
4） 随机变量存在n阶原点矩，则 的n阶导数存在，且

5）当 ， ，…，*n为相互独立的随机变量，
特征函数为 则
特征函数等于各个随机变量的特征函数的乘积，即
（1）若*是离散型随机变量，其概率函数为 ，则特征函数为

（2）若*是连续型随机变量，其密度函数为f（*），则*的特征函数为


1.2 一些常用分布的特征函数
1、二项分布
*服从二项分布， 。
解 ，（ （ ），k=1，2，…n，）
特征函数：


即： 为二项分布的特征函数
2 、正态分布
解：当 （0，1）正态分布时，即密度函数： 。

由于 是复变函数，所以用复变函数的积分公式

。
又 当*服从正态分布， 密度函数为：

，
，
，
，
即：

1.3 中心极限定理
对于随机变量 相互独立，服从同一分布且具有数学期望和方差分别为：
,（k=1，2…n）。
设 ，则

证：

,
,

=1-1/2 +



定理：分布函数列 弱收敛于分布函数 的充要条件是相应的特征函数列 收敛于 的特征函数 。
故由以上定理可 。
即 服从标准正态分布。

1.4 三种常见的统计量
1.4.1 分布
设随机变量 相互独立都服从正态分布为 (0,1) 的正态分布 服从_度为n的分布 。 记为：



c2 分布的密度函数曲线图

可见_度n增大时，密度曲线逐渐趋于对称，当 时， 分布的极限分布是正态分布，当 时，可以认为近似于标准正态分布.


应用中心极限定理可得，若 则当n充分大时, 的分布近似正态分布 N (0,1).

1.4.2 分布
设 *～N(0,1)，Y～ 且*与Y相互独立，则称变量 所服从的分布为_度为 n的 分布。 记为：T～t(n).
T的密度函数为：


是偶函数，所以它的图形是关于*=0对称的，且形状类似于正态随机变量的密度函数形状。由图可见当 时， 分布的极限分布是标准的正态分布。
且 当 时对 n > 2; E( T ) = 0; D( T ) = n / ( n - 2 ) 。

1.4.3 分布
设 ,*与Y相互独立，则称统计量
服从_度为 及 的F分布， 称为第一_度， 称为第二_度，记作:

若* ~ ， *的 ……（未完，全文共7152字，当前仅显示2512字，请阅读下面提示信息。收藏《毕业论文：偏度、峰度检验—产品质量检验》）