毕业论文：Schrödinger方程的一个高精度差分格式

大学本科生毕业论文

Schrödinger方程的一个高精度差分格式
院 系 　　 　 数学科学学院　　　
专 业 　　 数学与应用数学　　
届 别 　　 　 2011 　

摘要
本文通过用含参数的差分方程逼近微分方程的方法，构造了Schrödinger方程的一个高精度绝对稳定的三层隐式差分格式，并用Miller准则证明了其稳定性，通过数值例子说明了该格式是有效的。

关键词：Schrödinger方程；差分格式；稳定性；隐式；


Abstract
In this paper，an absolutely stable three-layer implicit difference scheme with high accuracy for solving Schrödinger equation is established by difference e
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第二章 差分格式及其截断误差
取时间步长 ，空间步长h，用如下含参数的差分方程逼近微分方程（1）
（3）

其中, 表示 在节点 上的值，适当选取参数 可以使差分方程(2)逼近微分方程(1)，具有尽可能高阶的离散误差，而且有较好的稳定性。
当微分方程(1)解充分光滑时，有如下关系式成立
， （p,q为非负整数） （4）
将格式(2)在节点 处展开成Taylor级数，并使用关系式(4)，经整理得
（5）
上式中， 可以是任何非零常数，为使截断误差达到 ，只需下列方程组
(6)

成立。解之得
(7)
其中， 是_变量。
此时误差可达到 ，将式(7)代入式(3)，
即

整理得
（8）
这是三层隐格式，其截断误差

所以截断误差至少为 ，当然如果想要再提高精度是不可能的。因为要提高精度，必须 ，这与(6)式矛盾。因此差分格式(8)逼近方程(1)的离散误差不能再提高。


第三章 稳定性分析
为了讨论格式(3)的稳定性，需要引入Miller准则[11][12]。
Miller准则：当 时，复系数二次方程

有模为小于1的不等复根，其充要条件为 ，且 。
用分离变量法分析差分格式(8)的稳定性。
令
.
代入格式(8)，得到它的传播矩阵的特征方程

对照Miller准则，此时

显然， , ,故由Miller准则可知，其稳定的充要条件为 ，
即

易知，它对任意 均成立。所以，格式(8)绝对稳定。










第四章 数值例子
考虑边值问题：
（9）
其精确解为
（10）
利用格式(8)求数值解，取 , ,r=1,2，计算到n=500，因为格式(8)是三层格式，除初始层网格函数值为已知外，还需要用其它方法预先计算出第一层网格上的函数值，为简化计算，第一层网格函数值按精确解进行计算。其中表1为格式（8）与C-N格式和精确解数值结果之间的比较情况。表2为格式（8）与C-N格式误差之间的比较，定义误差分别为精确解的实部、虚部分别减去差分解的实部、虚部。
表1 格式（8）与C-N格式和精确解数值结果比较
* r 精确解 格式（8） C-N格式
实部 虚部 实部 虚部 实部 虚部
1 0.295913 0.366946 0.295928 0.366935 0.397345 0.365788
2 - 0.396388 -0.255130 0.396311 -0.255250 0.394325 -0.258308
1 0.521945 0.647236 0.521970 0.647216 0.524470 0.645192
2 0.699166 -0.450010 0.699029 -0.450022 0.695526 -0.455615
1 -0.398233 -0.493827 -0.398252 -0.493811 -0.400159 -0.492268
2 -0.533448 0.34334 ……（未完，全文共5766字，当前仅显示2025字，请阅读下面提示信息。收藏《毕业论文：Schrödinger方程的一个高精度差分格式》）