毕业论文：欧氏空间和辛空间的对比—关于特征值的对比

目录/提纲：……
目录一、欧氏空间与辛空间的基本概念5
二、线性变换及其矩阵10
三、线性变换及其矩阵的特征值与特征向量13
四、特殊矩阵的特征值与特征向量15
一、欧氏空间与辛空间的基本概念
二、线性变换及其矩阵
三、线性变换及其矩阵的特征值与特征向量
四、特殊矩阵的特征值与特征向量
……

欧氏空间和辛空间的对比
—关于特征值的对比


题： 欧氏空间和辛空间的对比
院 （系）： 数学科学学院
专 业： 信息与计算科学

摘要: 我们在线性空间的基础上,定义内积了运算,便有内积空间(又称欧氏空间)的概念。类似的，在线性空间的基础上,定义外积运算,就可以引进辛空间的概念。虽然两者是建立在同样的基础上,但定义上的差异产生的关于空间的基、对称矩阵、特征值、正交等概念都不尽相同。本课题就是对欧氏空间和辛空间的一些基本概念和特征值进行对比，特别是对于一些特殊矩阵，比如说对称矩阵、反对称矩阵、正交矩阵、辛矩阵和哈密顿矩阵关于特征值的性质进行对比。

关键词: 欧氏空间，辛空间，特征值


Abstract : On the basis of the linear space, defining of inner product operations, there will be the concept of an inner product space (also known as Euclidean space). Similarly, on the basis of the linear space, defining th
……（新文秘网https://www.wm114.cn省略873字，正式会员可完整阅读）……　
换及矩阵 14
四、特殊矩阵的特征值与特征向量 15
4.1 一般矩阵特征值与特征向量的性质 15
4.2对称矩阵与反对称矩阵的特征值和特征向量 17
4.3 正交矩阵与辛矩阵的特征值 18
4.4对称矩阵与哈密顿矩阵的特征值和特征向量 19
致谢语 19
参考文献： 20


一、 欧氏空间与辛空间的基本概念


1.1线性空间

线性空间是线性代数中 维向量空间概念的抽象和推广。为了便于理解这个抽象概念，我们先介绍 维向量空间中的向量在加法及数与向量的乘法方面的运算性质，然后再把具有相同运算性质的一切集合，抽象概括为线性空间。
在 维向量空间

中，向量 是有序组，且对向量的加法及数与向量乘法都是封闭的（指运算结果都仍是 中的向量），且满足如下 条性质（设 都是 维向量， , 是常数）：
（1） (加法交换律)；
（2） （加法结合律）；
（3） （存在零向量0）；
（4） （存在负向量 ）；
（5） （数因子分配律）；
（6） = （分配律）；
（7） （数因子结合律）；
（8） ，
在数学、力学及其他学科中，有必要不考虑集合的具体内容的涵义来研究这类集合的公共性质，并把这类集合概括成一个数学名词，于是有了如下的线性空间的概念。
定义1.1 设 是一个非空集合， 是一个数域。如果 满足如下两个条件：
1.在 中定义一个封闭的加法运算，即当 , 时，有惟一的和 ，并且加法运算满足4条性质：
（1） （交换律）；
（2） （结合律）；
（3）存在零元素 ，对于 中任何一个元素 都有 ；
（4）存在负元素，即对任一元素 ，存在有一元素 ，使 ，且称 为 的负元素，记为 ，于是有 +( )=0。
2.在 中定义一个封闭的数乘运算（数与元素的乘法），即当 ， 时，有惟一的 ，且数乘运算满足4条性质：
（5） + （分配律）；
（6） + （数因子分配律）；
（7） （结合律）；
（8） 。
其中 , , 表示 中的任意元素； , 是数域 中任意数；1是数域 中的单位数。
这时，我们说 是数域 上的线性空间。不管 的元素如何，当 为实数域 时， 为实线性空间；当 为复数域 时，称 为复线性空间。这里研究的是实线性空间。
1.2内积与欧氏空间
在线性空间中，向量之间的运算只有加法和数乘，统称为线性运算。但是，如果以解析几何中三维几何空间 作为线性空间的一个模型，我们会发现， 中诸如向量的长度、两个向量的夹角等度量概念在线性空间的理论中还未得到反映，而这些度量性质在很多实际问题（包括几何问题）中却是很关键的。因此，有必要在一般的线性空间中引进内积运算，从而导出内积空间的概念。
在解析几何中，向量的长度与夹角等度量都可以通过数量积（又称点积）来表达，假设 是 中过原点的两个向量，则它们的数量积为
=
其中 是 与 的夹角， 分别是 的坐标。
容易看出，式（1.1）定义的数量积具有如下的代数性质：
（1）对称性 ；
（2）可加性 ;
（3）齐次性 , 为任意实数；
（4）非负性 ；当且仅当 时， 。
有了数量积的概念，向量长度和夹角就可以表示为
，
。
可见数量积的概念蕴含着长度和夹角的概念，因此，为了给抽象的线性空间引进长度、夹角等度量，我们可先以数量积所具备的4条代数性质为依据，在抽象的线性空间中引入与数量积相类似的概念，这就是内积的概念，并把定义了内积的线性空间叫做内积空间。
定义1.2 设 是实数域 上的线性空间，对于 中任意两个向量 ，如果能给定某种规则使 和 对应着一个实数，记为 并且满足以下条件：
（1） ；
（2） ；
（3） , ；
（4） ，当且仅当 时， 。
则称该实数 是向量 与 的内积。
如此定义了内积的实线性空间 叫做欧几里得（Euclid）空间，简称欧氏空间（或实内积空间）。
由上面的定义我们可以知道，欧氏空间与实线性空间的差别在于欧氏空间比实线性空间多定义了内积，或者说欧氏空间是一个特殊的实线性空间。
1.3外积与辛空间
我们在线性空间加法运算和数乘运算的基础上，定义内积运算便有了欧氏空间的概念。同样的，在线性空间的基础上，定义所谓的“反对称纯量积”运算，就可以引进辛空间的概念。我们先介绍反对称的双 ……（未完，全文共8975字，当前仅显示2451字，请阅读下面提示信息。收藏《毕业论文：欧氏空间和辛空间的对比—关于特征值的对比》）