论文开题报告：修正ZK方程的新的孤立波解

修正ZK方程的新的孤立波解

学 院 数学科学学院
班 级 08数学与应用数学1班
论文写作时间 2012年3月-2012年4月
论文答辩时间 2012年5月13号

修正ZK方程的新的孤立波解

摘要 在文[15]中,首次积分方法被用来求修正ZK方程的孤立波解,但其找首次积分的过程过于繁琐,且只得到复数形式的解。本文我们利用动力系统方法求修正ZK方程的孤立波解,得到两个孤立波解的显式表达式,丰富了前人的研究工作。

关键词： 修正ZK方程 动力系统方法 首次积分 孤立波解


New solitary wave solutions of the modified ZK equation

Abstract In [15],the first integral method was used to find solitary wave solutions of the modified ZK equation,but the process is too comple*, and only a plural solution was found. In t
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法[4-6]，扩展的tanh方法[7-9]，正弦余弦法[10,11]等。
2002年，Feng[12]第一次利用首次积分法求Burgers-KdV方程的行波解。首次积分法利用多项式的因式分解定理,在求解复杂微分系统的首次积分中显示了强大的作用。其后，首次积分法被广泛使用[13,14]。2009年，Tascan等人[15]利用首次积分法研究如下
修正Zakharov–Kuznetsov方程
, （1.1）
并得到如下复数形式的孤立波解
. (1.2)
本文我们利用动力系统方法研究修正ZK方程。注意到修正ZK方程对应的行波系统是一Hamilton系统,可以直接求出其首次积分,继而画出其轨线图。由于行波系统的同宿轨对应相应非线性波方程的孤立波,沿着两条同宿轨线积分,得到两个孤立波的显式表达式。


2．修正ZK方程行波系统的轨线图
本节我们利用动力系统方法画出修正ZK方程行波系统的轨线图。
令 方程(1.1)化为
（2.1）
对(2.1)积分一次并令积分常数为零,得
（2.2）
令 , .得
（2.3）
易知系统(2.3)有三个奇点,分别为
, , .
注意到(2.3)是一Hamilton系统,直接求出其首次积分如下
（2.4）
其中 为Hamilton量. 令
（2.5）
（2.6）
其雅可比矩阵为
. （2.7）
由 得：
点处的两个特征值为 故 点为系统(2.3)的鞍点； 、 点处的两个特征
为 故 、 点均为系统(2.3)的中心。
根据以上的论述做出系统(2.3)的轨线图，用matlab作图，取 ，其图形如下

图形最外面一圈为 时的轨线,其为两条同宿轨,轨线的方向为顺时针。由于行波系统的同宿轨实际对应非线性波方程的孤立波,下面我们利用图形直接计算出两个孤立波的显式表达式。


3．修正ZK方程的孤立波解
沿着同宿轨线积分,注意到 。取 为起始时刻,其初始位置为 。
由 得
（3.1）
将(3.1)代入系统(2.3)的第一个式子,得
（3.2）
两边同时从 积分到 得
. （3.3）
由(3.3)经计算得
,
即 . （3.4）然后令 , ,(3.4)化为
. ……（未完，全文共6468字，当前仅显示2271字，请阅读下面提示信息。收藏《论文开题报告：修正ZK方程的新的孤立波解》）