论文：证券收益率的极大线性无关组及两基金分离定理

论文：证券收益率的极大线性无关组及两基金分离定理

摘要：本文在无套利假设下，采用了无套利均衡分析方法及证券收益率极大线性无关组的表示方法进一步研究了当种风险资产协方差矩阵是奇异时的证券投资组合问题（包括不含有无风险资产与含有无风险资产两种情形），在均值-方差模型的框架下得到有效边界一些本质特征，并证明了此时的两基金分离定理仍然成立的，最后利用这些结果给出了有效的、操作性强的投资策略。
关键词：奇异协方差矩阵；有效组合边界；两基金分离定理；极大线性无关组
中图分类号： F224 ; 029; 文章标识码：A

一. 引言
1952年，Markowitz H投资组合选择理论[1]奠定了现代资产组合投资理论的基础，带动了金融市场理论的创新，并被誉为金融领域的一场革命。在Markowitz H的投资组合理论中有一个非常著名的定理两基金分离定理：
设为有效边界上任意两个给定不等期望收益率所对应的有效投资组合，则有效边界的任意一个投资组合，必存在实数和，满足，使得。
由两基金分离定理知，共同基金公司可选择适当的资产组合构成两个有效资产组合套餐，投资者只需根据他们的偏好按不同的比例投资在共同基金套餐就可达到其想要有效投资组合，而不需去挑选每种风险资产进
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两基金分离定理成立。（2）种风险资产与无风险资产的投资组合只需用种风险资产中的一极大无关组种风险资产与无风险资产生成其有效边界，且此时两基金分离定理成立。其中为种风险资产一极大线性无关组含资产的个数。最后并利用这些结果给出了有效的、操作性强的投资策略。

二. 符号与概念
设种风险资产的收益率为（为随机变量组），为投资在种风险资产上的比例向量即投资组合，、分别为这种风险资产组合收益率的期望、方差，记表示无风险资产的收益率，即无风险利率，为了表达方便，我们可用其收益率代表某种资产本身，如可代表第种风险资产，代表无风险资产，下同。
注：本文同一符号无特别声明前后表示同一个意思。
假设市场是没有套利机会的，先引入前沿边界与有效边界的概念。
定义1：各种期望收益水平下风险（标准差）最小的组合被称为前沿组合，所有的前沿组合组成的在坐标平面上的点的集合是投资机会的前沿边界。
定义2：各种风险水平（标准差）下期望收益最大的组合被称为有效组合，所有的有效组合组成在坐标平面上的点的集合称为有效边界。
如文[6]类似线性代数，下面引入随机变量的线性相关、线性无关与极大线性无关组等概念。设为任意的随机变量组。
若存在不全为零的实数使得为常数，则是线性相关的，否则是线性无关的；若存在实数使得，则称可由线性表出；的一个部分组称为一个极大（线性）无关组，若是线性无关的，且每个可由线性表出。引入符号如下定义：，表示由收益率（随机变量组）组合成的所有可能收益率空间，记，，其中为种风险资产的收益率。
注：当时，可看成，因为它们从概率测度来说是一样的。
由文[6]中的引理1和引理2知是奇异等价于线性相关的，且任意随机变量组都存在极大线性无关组，说明这样定义的合理性，从而可以把线性代数的方法应用到这里来。

三. 预备结论
引理1： 任意收益率组，若都有，，则必有。
证明：对，则存在，使得，又，故存在，使得 ，从而 ，且系数和为： ，故，所以有。证毕。
显然还有如下引理2成立。
引理2：若，则收益率为与收益率为的两组证券组合有相同的有效边界和前沿边界。
当协方差是奇异时，对种风险资产的收益率有如下定理1成立。
定理1：设为的一极大线性无关组，则要么有；要么有，且当时，存在第种风险资产，使得。
证明：为了研究方便，不妨设为（），下同。由极大无关组的定义知可由线性表出，即，使得，令，则，从而为无风险资产，又的投资比例总和为，所以相当于倍无风险资产投资，由无套利假设有，从而，显然系数和为1，故 ，显然当 ，时也有，由引理1有。
情形1.：若对所有都有,即，则有 ，且，从而 ，由引理1有。另一方面，显然有。故此时。
情形2：若 不全为零，不妨设。由前面知： ，从而。令 ，，则，且。从而，由引理1知，又前面已证，所以有。定理证毕。
若还引入无风险资产，则有如下定理2成立。
定理2：当是奇异时，设为的一个极大线性无关组，则有。
证明：由定理1知要么等于，要么等于。
当时，即，显然也有，即。
当时，即，显然也有即。证毕。

四. 两基金分离定理及其证明
由定理1知，当是奇异时，种风险资产只需要用其中一极大无关组种或再加上其中某一种即种风险资产即可生成其有效边界，其余的风险资产可以不需考虑，我们还可以进一步证明此时的两基金分离定理是成立的。
定理3（两基金分离定理）：当是奇异时，种风险资产只需要用其中一极大无关组种或再加上一种即种风险资产生成其有效边界，且此时的两基金分离定理成立。
证明：由定理1知要么等于，要么等于。
对于情形1，即时，由引理2知只需要用其中一极大无关组种风险资产（其协方差矩阵为非奇异）生成其有效边界，其余的风险资产不需考虑，此时相当于非奇异协方差矩阵的种风险资产的有效边界，显然两基金分离定理成立，详细参见文献[8-9]。
对于情形2，即当时，由引理2知只需要用其中一极大无关组种再加上其中某一种即可生成其有效边界，我们不妨设是前种风险资产，且其中为极大无关组。由知，求风险资产的有效边界相当于求极大无关组与无风险资的有效边界，即求解如下每个给定期望收益下，方差的最小值问题（1）：
（1）
其中分别为的期望向量和协方差矩阵，，由于线性无关，所以是非奇异的，利用lagrangian方法，易得最优解为：
（2）
现在求以上最优解对应的投资在的一个最优（有效）投资比例组 ……（未完，全文共6954字，当前仅显示2441字，请阅读下面提示信息。收藏《论文：证券收益率的极大线性无关组及两基金分离定理》）