论文：模糊不确定性对二叉树期权定价的影响

论文：模糊不确定性对二叉树期权定价的影响

摘要：Co*等（1979）首先给出精确二叉树期权定价模型。但考虑到金融市场的复杂性和人类的模糊性思维习惯，实际的决策问题常常带有模糊性，因此本文运用模糊集合论讨论期权定价，给出期权价格的上限和下限，进而得到模糊期权价格。这样投资者可以把实际的价格和自己的模糊价格相比较，从而决定是否进入市场或进入多/空头。
关键词：二叉树模型；模糊期权定价；模糊集合论
中图分类号：F830

0 引言
期权作为一种重要的衍生产品一直受到关注。Co*，Ross和Rubinstein（1979）首先给出二叉树期权定价模型，尽管此模型所涉及的数学不深，但模型隐含的经济意义却十分重要，因而成为衍生产品定价的基本方法之一。
Co*等假设下一期股票价格只存在两种运动方式：上升到或下降到某一精确点，然后应用无套利定价方法给出期权的价格。但实际中，我们经常听到的是“股票价格将上升或下降*%左右”，即由于模糊不确定性（或称为Knight不确定性）的存在，实际的金融市场只被定义为“熊市”或“牛市”，下一期股票的具体价格并没给定一个精确值。这样单纯的概率论方法无法解决这种类型的不确定性，因此我们应用模糊集合论来解决这种模糊不确定性
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范围。当模糊不确定性为时，我们有。
结论1。是单调减函数，是单调增函数。且，当（即没有模糊不确定性）时，==。
因此称和分别为模糊不确定性为的上升下限、上升上限，或悲观上升率、乐观上升率。其实区间[，]就是模糊数的截集。当投资者的模糊不确定性小于时，对应的上升比例就是这个区间里的某个值。并且区间[，]长度随的减小而缩小，当时，有唯一的上升率，回到经典的定价方法。
对于的模糊程度，也可以给出关于的类似的模糊隶属度，以及和。为计算简单，我们采用一般的取值办法： ，，称和分别为模糊不确定性为的下降上限、下降下限，或乐观下降率、观悲观下降率。当投资者的模糊不确定性小于时，对应的下降比例就是区间[，]里的某个值。
结论2。根据我们的取值，有，。

图1 和的模糊数
根据无套利定价方法，股票价格上升和下降的权重应该满足

因此，。
结论3。1），；
2）当时，是的单调减函数，进而是单调增函数；当时，是的单调减函数，进而是单调减函数。
1.1 三角模糊数单期二叉树看涨期权定价模型：
根据无套利定价方法，两种权重时的单期看涨期权的价格分别为，
，
其中和，。为敲定价格。
取，
结论4。当时，是的单调增函数，进而是的单调减函数；是的单调增函数，进而是单调增函数。这时，故，。
称和分别为模糊不确定性为的看涨期权下限、上限。下限、上限构成价格区间[，]，当模糊不确定性小于时，看涨期权的价格就应该是这个区间里的某个值。
不同于经典模型的唯一价格，我们得到一个价格区间。不同投资者可以把实际的价格和自己的模糊价格相比较，从而决定是否进入市场或进入多/空头。类似于统计学中的区间估计，我们实际给出了不确定性为的期权价格置信区间。
结论5。当时，，即模糊不确定性减小时，区间[，]的长度随之减小，当时，==。
结论6。以上定价方法形成的期权价格可以表示为模糊集。
证明：当把看成自变量是的映射，则是一个集合套，根据模糊表现定理，就是一个模糊集。
这样，我们称由以上定价方法形成的期权价格为模糊期权价格。
1.2 三角模糊数期二叉树期权定价模型：
根据无套利定价方法，两种权重时的期看涨期权的价格分别为，


如果取，，则


（设，显然 ）
其中


其中，（显然）。
取，
类似于前面单期时的分析，我们得到一个期权价格区间[，]。不同投资者可以把实际的价格和自己的模糊价格相比较，从而决定自己的投资策略。
对T期，从数值分析也有，当时，，即模糊不确定性减小时，区间[，]的长度随之减小，当时，==。这样，由模糊表现定理，这时的也是一个模糊集。因此T期期权价格同样为模糊期权价格。
2 数值分析
考虑一支6个月有效期的欧式看涨期权，股票现价为42，期权的执行价格为40，无风险利率为每年10%，波动率为每年20%。根据Black-Scholes期权定价公式得到欧式看涨期权的价格为4.76。（[7]中例10.6）
单期：把6个月看成一期，因此，半年的无风险利率为5%。取， 三角模糊数下单期的和如图2。


图2 单期模糊期权价格

图3 多期模糊期权价格
多期：把每个月看成一期。因此，每月的无风险利率为0.8333%。取，三角模糊数下多期的和如图3。
从图2、图3我们看到，模糊期权随代表模糊性的参数的变化情况。各曲线的上半部分可以作为多头买价，下半部分为空头卖价。依据图形，投资者可以决定买进还是卖出。
3模糊期权的经济意义分析
金融市场的复杂性和人类思维的模糊性，使得以精确化的方法得到的精确定价模型与实际产生了偏离，导致了各种“迷”的出现。本文运用模糊集合论分析期权的价格。
鉴于人们的模糊思维习惯，投资者对股价上升或下降的比例存在一定的模糊性，就形成了期权价格的上限和下限，根据模糊集合论，我们得到了模糊期权价格。期权价格模糊区间的上限和下限分别为期权买卖双方的保留价格，即期权买方愿意买入的最高价格为期权价格上限；而期权卖方愿意卖出的最低价格为期权价格下限。当投资者的预期与市场一致时，他不会进入市场交易，处于观望期；当投资者的预期大于市场价格时，他认为市场被低估，于是进入交易空方；相反，当投资者的预期低于市场价格时，他认为市场被高估，于是进入交易多方。当多空双方力量基本一致时，实际价格有 ……（未完，全文共4681字，当前仅显示2364字，请阅读下面提示信息。收藏《论文：模糊不确定性对二叉树期权定价的影响》）