论文：引力模型的数学证明

论文：引力模型的数学证明

摘要：大多数国际贸易理论只能定性解释贸易与其他经济变量的关系。在定量成果研究中，引力模型是一个重要工具。但一般认为引力模型缺乏理论依据。本文以劳动分工为出发点，以总产出的”增加值”统计方法为依据，从数学上证明了引力模型的存在。证明过程显示出引力模型反映的是生产与流通这两个基本环节的数量关系，这种关系在国际贸易和国内贸易中同样适用。
关键词：贸易，引力模型，数学证明，
A Mathematical Derivation Of The Gravity Equation
Abstract: Popular theories concerning international trades can give only qualitative e*planation. In the quantitative research literatures, the gravity equation is an important approach. But the theoretical foundation of the equation is uncertain. Based on a new recognition of labor divi
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Evans 2003, Baltagi and Pfaffermayr 2003, Egger and Pfaffermayr 2003)。不过这些修改后的模型已经不再具有引力模型的形式。
一些学者认为，像比较成本论、资源禀赋论、规模经济论等应该是引力模型的理论基础 (Evenett and Keller 2002, McPherson and Redfearn 2001, Tiiu Paas and Egle Tafenau 2005)。但他们从这些理论并不能定量得到一个确定的引力模型 (Tiiu Paas and Egle Tafenau 2005)。换言之，引力模型的理论基础问题并没有真正解决。
本文以劳动分工为出发点，以总产出的增加值计算规则为依据，发现产量与流通量之间存在确定的数量关系。一个区域的产量通常以国内生产总值（GDP）表示，该区域与其他区域之间的流通量通常以贸易额表示。从事经济活动的劳动者具有一定的空间分布，流通是劳动者分工合作以及实现生产和消费的必要过程。以商品的移动成本表示劳动者之间的距离，并运用一定的假设将问题简化后可以证明，任何两个经济之间的流通量与二者之间的经济距离的平方成反比，与二者的经济总量的乘积成正比。也就是说，用引力模型来表达生产量与流通量的一般关系，有着确切的理论依据。
本文不仅从理论上确定了生产与流通的数量关系，使引力模型中变量的实际意义更为明确，更重要的是，本文所展示的分析方法对于相关理论研究很有启示意义。
2. 贸易――价值实现的必要环节
现代社会生产的一个重要特征是劳动分工。任何一个经济的产出都是由大量的劳动者通过分工协作完成的。
假设一个经济中含有N个劳动者，每个劳动者的产出量为q ，则该经济的总产出为：
Q = Nq (2)
现实当中，每个劳动者的产出量一般并不相同，这里我们采用平均产出，即q可以视为是一个“代表性”劳动者的产出。
注意到所有的劳动者不可能在同一地点从事生产和消费活动，每个劳动者处在不同的地理位置。因此，流通实际上就是把需要交换的产品移动到需要它的地方并完成交换的整个贸易过程。因此，流通是实现市场交换的必要条件。通常我们把企业之间或者企业与消费者之间的交易视为“流通”，是因为这些活动的交易额便于分别计算；我们不把企业内部的物品从一个车间移动到另一个车间视为“流通”，是因为这些活动不便于分别计算，并且通常都计算到生产成本中去了。
根据国内生产总值（GDP）的统计规则，不参与市场交易的产品或劳动是不被计入GDP的。也就是说，如果没有流通，就没有市场交换，也就没有GDP。比如说，尽管人人都在劳动，并且有产品生产出来，但如果没有流通和交换，每个劳动者的产品都在原地不动，按照GDP的统计规则，经济系统的总产出为零。
现在我们根据GDP的“增加值”统计方法来考察流通与产出的数量关系。
在（2）式所给出的生产情况下，当没有贸易发生时，经济系统的产出额为0。
当有一定数量的产品 为了交换而从劳动者B 移动至劳动者A时，假设运送费率为f，则我们可观察到一个产出增加值：
（3）
不论是谁完成了产品的运送，这个贡献值必是劳动者A的产出q 中的一部分。
比如， 当运送是由A完成的，则f就是A对产出增加值的贡献；当运送是由他人完成的，则A必须从自己的劳动产品增加值中支付相等的数量，否则就不能实现等价交换。
此外，我们不必追究所运送商品的全部价值，因为GDP的统计只需观察经济活动对产出贡献的增加值。
3. 平方反比律
现在来考察距离为r的两个劳动者A与B之间的贸易。.
让我们画一个半径为r的圆环，如图1所示， 劳动者A位于圆心，劳动者B位于环上。
每个所考察的劳动者和“代表性”的劳动者完全一样。即他们的产出相同，产品也相同，谁都不比他人更具有特权。
由于圆环上所有劳动者（包括B）与A的距离都相同，所以他们与A的贸易额也应该都相同，记为。
假设劳动者是均匀连续分布的，注意到环上每个劳动者所占的面积为，则他们与A之间的贸易额之和为
（4）
令环的宽度为一个劳动者所占的宽度，即 ……（未完，全文共6857字，当前仅显示2408字，请阅读下面提示信息。收藏《论文：引力模型的数学证明》）